Các định lý sau đây được đưa ra và chứng minh đầu tiên bới Ludwig Sylow vào năm 1872, và được công bố trên tạp chí Mathematische Annalen.

Định lý 1: Với mọi ước nguyên tố p với cấp n của cấp của một nhóm hữu hạn G, tồn tại một p-nhóm con Sylow của G với cấp p n {\displaystyle p^{n}} .

Hệ quả sau của định lý 1 được chứng minh đầu tiên bởi Cauchy, còn được biết dưới tên định lý Cauchy.

Hệ quả: Cho một nhóm hữu hạn G và một số nguyên tố p chia hết cấp của G, khi đó tồn tại một phần tử (và một nhóm con cyclic) có cấp p trong G.

Định lý 2: Cho một nhóm hữu hạn G và một số nguyên tố p, mọi p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau, nói cách khác, nếu H và K là các p-nhóm con Sylow của G thì tồn tại một phần tử g của G sao cho g − 1 H g = K {\displaystyle g^{-1}Hg=K} .

Định lý 3: Cho p là một ước nguyên tố với cấp n của cấp của nhóm hữu hạn G, khi đó cấp của G có thể được viết dưới dạng p n m {\displaystyle p^{n}m} , với n > 0 {\displaystyle n>0} và p nguyên tố cùng nhau với m. Đặt n p {\displaystyle n_{p}} là số các p-nhóm con Sylow của G. Khi đó ta có

• n p {\displaystyle n_{p}} chia hết m là chỉ số của p-nhóm con Sylow của G.
• n p ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle n_{p}\equiv 1{\pmod {p}}} .
• n p = | G : N G ( P ) | {\displaystyle n_{p}=|G:N_{G}(P)|} , với P là một p-nhóm con Sylow bất kì của G và N G ( P ) {\displaystyle N_{G}(P)} là nhóm con chuẩn hóa của P trong G.

Các hệ quả

Các định lý Sylow chỉ ra rằng với mỗi số nguyên tố p, mọi p-nhóm con Sylow có cùng cấp là p n {\displaystyle p^{n}} . Ngược lại, nếu một nhóm con có cấp p n {\displaystyle p^{n}} thì nó là p-nhóm con Sylow, và do đó đẳng cấu với mọi p-nhóm con Sylow khác. Theo điều kiện cực đại, nếu H là một p-nhóm con bất kì của G thì H là một nhóm con của một p-nhóm con Sylow nào đó.

Một hệ quả rất quan trọng của định lý 3 là điều kiện n p ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle n_{p}\equiv 1{\pmod {p}}} tương đương với việc các p-nhóm con Sylow đều là nhóm con chuẩn tắc (tồn tại nhóm có nhóm con chuẩn tắc nhưng không có nhóm con Sylow, ví dụ như nhóm đối xứng S 4 {\displaystyle S_{4}} ).

Các định lý Sylow cho nhóm vô hạn

Có một sự tương tự của các định lý Sylow cho các nhóm vô hạn. Ta xác định một p-nhóm con Sylow của một nhóm hữu hạn là một p-nhóm con cực đại và chứa mọi p-nhóm con khác của nhóm ban đầu trong nó. Nhóm con này tồn tại theo bổ đề Zorn.

Định lý: Nếu K là một p-nhóm con Sylow của nhóm vô hạn G, và n p = | C l ( K ) | {\displaystyle n_{p}=|\mathrm {Cl} (K)|} hữu hạn, khi đó mọi p-nhóm con Sylow đều liên hợp với K và n p ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle n_{p}\equiv 1{\pmod {p}}} , trong đó C l ( K ) {\displaystyle \mathrm {Cl} (K)} ký hiệu lớp liên hợp của K.